Matematikos profesorius R. Norvaiša: „Nežinodamas galimybių, nuo ko priklauso sprendimai ir kaip juos daryti, žmogus nežino, kur esantis“

Dienraščiui „Bernardinai.lt“ profesorius pasakoja, kodėl svarbu ne tik žinoti matematikos taisykles, bet ir suprasti sąvokas, kaip matematikos mokymą keičia technologijos bei dirbtinis intelektas ir kaip matematika susijusi su kultūra.

Profesorius R. Norvaiša atskleidžia, ar visi galime suprasti matematiką: „Tai priklauso nuo mūsų apsisprendimo ir tikėjimo, ar žmogus gali ją mokėti.“ Mokyklose mokiniai dažnai mokomi skaičiuoti pagal formulę, pavyzdį, nors nesupranta viso to reikšmės. Esate pasakęs, kad matematinę sąvoką suvokti kaip objektą mokiniams dažniausiai yra aukštasis pilotažas. Kodėl svarbu suprasti matematikos prasmę ir kodėl mokiniams tai sunku padaryti?

Sudėtinga todėl, kad tai yra abstrakcija. Gamtos mokslų sąvokos – pavyzdžiui, greitis ar pagreitis – vis tiek yra matematinės, nes yra išvestinės. Todėl matematinės sąvokos sudėtingumas kyla iš jos abstrakcijos. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad mes negalime parodyti konkrečių objektų, kurie turėtų šias savybes. Realybėje neegzistuoja nė vieno matematinio objekto.

Čia slypi ir matematikos sudėtingumas, ir mokinių sunkumai ją suvokti. Visi dvylika metų mokykloje skirti tam, kad vaikas, vystydamasis nuo 7 iki 20 metų, pamažu įgytų gebėjimą dirbti su vis abstraktesniais dalykais. Tai reikia lavinti pamažu.

Sudėtingumas kyla dėl abstrakcijos, iš kitos pusės, dėl to, kad tai galima įveikti, bet reikia nuosekliai ir tikslingai dirbti.

Pradedama nuo mintino abstrakcijų mokymosi – skaičiavimo: vienas, du, trys. Mes skaičiuoti išmokstame mintinai, kaip eilėraštį. Vėliau su tais skaičiais atliekame įvairius veiksmus, juos siejame su konkrečiais daiktais. Tie skaičiai tarsi tampa tų daiktų savybėmis, ir jų prasmė darosi aiškesnė.

Tačiau mes norime ne tik skaičiuoti, bet ir dalyti į dalis – atsiranda trupmenos. Tada jau sudėtinga tiksliai matematiškai apibrėžti, kas yra trupmena, nes reikalingi be galo maži dydžiai. Tai jau idealizuota samprata, kurios nebegalime iliustruoti, nes skaičius yra baigtinis, kai numeracija vyksta, o dalijant į vis mažesnes dalis jų kiekis gali būti begalinis.

Unsplash.com nuotrauka

Mokykloje galima bandyti supaprastinti akademinės matematikos sąvokas taip, kad penktokai galėtų jas suprasti. Galima pasiūlyti tokias sąvokų sampratas, kurios turėtų prasmę, pavyzdžiui, trupmenų aritmetikoje, ir kad nereikėtų mokytis mintinai, o mokiniai suprastų, jog sudedant dvi trupmenas reikia bendravardiklinti, dauginant – dauginti skaitiklius ir vardiklius. Tai yra taisyklės. Bet jeigu mokytume trupmenos sąvoką kaip tašką ant skaičių tiesės, operacijas galėtume apibrėžti taip pat kaip natūraliesiems skaičiams.

Sudėtingumas kyla dėl abstrakcijos, iš kitos pusės, dėl to, kad tai galima įveikti, bet reikia nuosekliai ir tikslingai dirbti. To mes nedarome.

Kalbate apie sąvokų paprastinimą. Ar įmanoma supaprastinti matematikos sąvokas ir pritaikyti jas pagal vaikų gebėjimus?

Taip. Pavyzdžiui, gana kontroversiškas dalykas yra išvestinė, to mokoma 11–12 klasėse. Ar ją reikėtų supaprastinti? Nežinau. Bet tuo metu mokinys jau yra pakankamai išsivystęs, kad jam būtų galima paaiškinti abstrakčius, matematikai būdingus dalykus, nebūtinai juos paprastinant, bet paaiškinant kitaip.

Išvestinė – tai riba. Tačiau ribą mes mokykloje apibrėžiame pačiu sudėtingiausiu būdu. Užuot pradėję nuo paprastesnio atvejo – sekos ribos, – mes jos net neminime. To nerasite vadovėliuose, o mokytojai dažnai nė nesupranta, kas tai yra. Tad taip, kai kurių sąvokų negalima supaprastinti – kartais ne tiek negalima, kiek nėra prasmės to daryti.

Mokiniai jau būna pakankamai pažengę, kad galėtų suvokti sąvoką taip, kaip ji vartojama matematikos moksle. Ribos sąvoka čia yra puikus pavyzdys. Su ja susijusi fizika: greitis, pagreitis, ploto skaičiavimas – viskas per ribą. Tai fundamentali matematinė sąvoka.

Taip, jos mokoma dvyliktoje klasėje, ji įtraukta į programą, bet pateikiama tik kaip formulių rinkinys, susijęs su diferencijavimu ir integravimu. Vėl – formulės, o prasmė ir esmė nepaaiškinamos.

Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto profesorius habil. dr. Rimas Norvaiša. Asmeninio archyvo nuotrauka

Mokiniams mokymąsi lengvina skaičiuotuvai. Pamokose ne vienas naudojasi įvairiomis programėlėmis, taip pat dirbtiniu intelektu. Kaip technologijos keičia matematikos mokymąsi ir mokymą?

Technologijos gali padėti, bet gali ir trukdyti.

Yra pavojus, kad galimybė naudotis skaičiuotuvu mokytojui sukuria norą apeiti kai kuriuos aiškinimo etapus. Pavyzdžiui, nagrinėjant išvestinę funkciją galima tiesiog paprašyti, kad programa „Geogebra“ nubraižytų išvestinės grafiką, ir juo remiantis nagrinėti jos savybes.

Technologijas pasitelkti būtina – reikia parodyti, kaip galima jomis naudotis mokantis matematikos, bet nepamiršti prasmės.

Jeigu reikia įrodyti, kad funkcija reiškiasi tam tikru būdu – yra monotoniška, mažėjanti, turi minimumą, – „Geogebra“ padeda tiesiog nubraižyti grafiką ir pažiūrėti. Vizualumas suteikia laikiną motyvaciją, bet ne visada padeda suprasti. Tokiu atveju išvestinės funkcijos mokiniui ir liks tamsus miškas.

Technologijas pasitelkti būtina – reikia parodyti, kaip galima jomis naudotis mokantis matematikos, bet nepamiršti prasmės. Naudotis technologijomis galima tik tada, kai supranti, kodėl tai veikia. Tam vis tiek reikia gilaus sąvokų supratimo, apie kurį kalbu. Kitaip technologijos – papildomas pavojus, kad mes dar labiau sužlugdysime žmogų.

O dirbtinis intelektas gali atlikti tai, ką suformuluoji – ką įdedi į formulę.

Bet jeigu kyla problema, kai net nežinome, kaip ją formuluoti ar kokias sąvokas vartoti, dirbtinis intelektas to neišspręs. Jis gali pateikti atsakymą tik tada, kai tiksliai suformuluojame klausimą. O jį kelti yra sunkiausia užduotis.

Sakote, kad matematika yra svarbi priimant sprendimus gyvenime. Tačiau prieš ką nors nuspręsdamas žmogus tikrai negalvoja apie funkcijas, išvestines ar tikimybių teoriją. Kaip matematika padeda priimti sprendimą?

Matematika suteikia pavyzdžių, kaip sprendimus galima priimti naudojant logiką. Tie pavyzdžiai sukaupti žmonijos kultūroje per šešis tūkstančius metų. Per tokį ilgą laiką išgryninta sprendimų priėmimo esmė ir suformuoti būdai, kaip tuos sprendimus daryti.

Ir jei mes nenorime, nesugebame, negalime supažindinti žmogaus su šia kultūros dalimi, nesuteikiame jam priemonių suprasti, kaip buvo priimami sprendimai, – paliekame jį neišsilavinusį, nežinantį, kas buvo iki tol. Nežinodamas galimybių, nuo ko priklauso sprendimai ir kaip juos daryti, žmogus tiesiog nežino, kur esantis.

Pexels.com nuotrauka

Matematinis samprotavimas būtų pats svarbiausias įgūdis – būtų gerai, kad žmogus jį turėtų gyvenime. Jis turėtų žinoti, kaip formuluoti klausimą – būti patyręs klausimo formulavimo galimybes matematikos kontekste: kaip formuluoti tam tikras savybes, kaip įsitikinti, ar jos tikrai yra teisingos. Matematika tokių pavyzdžių pateikia daugybę. O jeigu jų nemokome, nuskurdiname save.

Neseniai socialinėje erdvėje pasirodė Jūsų tekstas apie matematiką kaip kultūros reiškinį. Ar galite papasakoti, kaip siejasi kultūra ir matematika?

Matematika su kultūra susijusi dvejopai. Viena vertus, akademinė matematika žinoma labai mažai žmonių daliai – tai tarsi subkultūra. Kita vertus, kaip ir kitose mokslo ar meno srityse, egzistuoja kita dalis – ta, kurioje dauguma visuomenės daugiau ar mažiau orientuojasi: tiek fizikos, tiek menų, tiek literatūros atstovai. Tos žinios ir būtų ta kultūros dalis, kurią turėtų žinoti absoliuti dauguma visuomenės.

Tai klausimas, ar reikėtų matematikos dalį, susijusią su divergentinio mąstymo lavinimu, įtraukti į mokyklą, kad ją pažintų visa visuomenė.

Kyla klausimas – kiek visuomenei reikia žinoti? Tekste kalbėjau apie konvergentinį ir divergentinį mąstymą: jeigu mums reikia atlikti paprastą užduotį – pasirinkti vieną variantą iš kelių, – tai yra paprasta. Bet kai turime tokią problemą, kai net nežinome, kaip ją suformuluoti ar kokie gali būti sprendimo metodai, čia jau reikia divergentinio mąstymo. Jis reikalauja kurti naujas sąvokas.

Tai klausimas, ar reikėtų matematikos dalį, susijusią su divergentinio mąstymo lavinimu, įtraukti į mokyklą, kad ją pažintų visa visuomenė. Visuomenės supažindinimas su ta dalimi, kurią žino tik mokslininkai, būtų mokslo perkėlimas į kultūros lygmenį. Nes kas nors tampa kultūra tada, kai dauguma apie tai žino.

Taigi šia prasme matematika yra susijusi su kultūra – ir viena jos dalis, ir kita. O santykis tarp jų priklauso nuo to, kiek mes vertiname pačią matematiką ir kiek žinome apie jos galimybes.

Dažnai tarp mokinių galime išgirsti, kad vienas ar kitas negabus matematikai, kad ne visi gimę būti matematikais. Jūsų nuomone, ar visi gali mokėti ir suprasti matematiką?

Mokslininkai dar nėra tiek gerai pažinę žmogų, kad galėtų vienareikšmiškai atsakyti. Dalis jų mano, kad matematiniai gabumai yra įgimti. Kita dalis psichologų ir neuromokslininkų bando įrodyti, kad statistinis žmogus, žvelgiant iš matematinės pusės, yra balta lenta – be jokių ypatingų pranašumų ar trūkumų ir viską gali išmokti.

Visada gali būti įgimtų nuokrypių, kai žmogus gimsta turėdamas tam tikrą smegenų struktūrą, kuri leidžia jam kai kuriuos dalykus atlikti geriau nei kiti. Tačiau atmetus tuos išskirtinius atvejus, vidutinio žmogaus matematiniai gebėjimai iš pradžių yra vienodi.

Pexels.com nuotrauka

Todėl turėtume matematinį ugdymą orientuoti į vidutinį žmogų – nevartodami žodžių „gabus“ ar „negabus“, tiesiog žiūrėdami į žmogų kaip į turintį vidutinius gebėjimus.

Ar visi gali suprasti matematiką? Tai priklauso nuo mūsų apsisprendimo ir tikėjimo, ar žmogus gali ją mokėti. Jei tikime, kad gali, tada bandome kiekvieną moksleivį supažindinti su matematika. Kiek manome, kad žmogui reikia matematikos kasdieniame gyvenime, tiek jis turėtų gebėti jos išmokti. Žinoma, tam reikia pastangų, nuoseklaus ir atkaklaus darbo, bet neturėtų būti principinių kliūčių ją suprasti.

Jeigu programa yra per žemo lygio, vaikas nė nenujaučia, kad gali daugiau. Jam neįdomu – intelektualiai jis negauna nieko iš to, ko mokoma.

Vienas iš pagrindinių mokyklų tikslų yra sumažinti skirtumus tarp žmonių, nes jie gimsta skirtingoje aplinkoje ir turi skirtingas galimybes mokytis. Jų šeimos skirtingai juos parengia ateičiai. Todėl mokykla turėtų orientuoti mokymą taip, kad kiekvienam vaikui, nepriklausomai nuo jo aplinkos, būtų suteikta, kas būtina. Mokymas turi būti pritaikytas vidutiniam vaikui. Tas lygis, kurio mes mokome mokykloje, – tai taisyklės, bet jei suprasime tai kaip mąstymo lavinimą, turėtume mokyti taip, kad vidutinis vaikas galėtų įsisavinti matematinį mąstymą.

O ką daryti labai gabiems? Mokyklos programa juos stabdo, neleidžia tobulėti?

Taip, čia jau mokytojo problema. Visų pirma programa gali net neleisti atskleisti, kad vaikas yra gabus. Jeigu ji yra per žemo lygio, vaikas nė nenujaučia, kad gali daugiau. Jam neįdomu – intelektualiai jis negauna nieko iš to, ko mokoma.

Jeigu programa yra per paprasta, niekada nesužinosime, kad vaikas turi matematinių gabumų. Turime pripažinti, kad idealaus sprendimo, kokia turėtų būti programa, nėra. Bet ką daryti jaučiantiems, kad jie yra labai gabūs? Tam yra įvairių priemonių: neakivaizdinės matematikos mokyklos, kuriose kiekvienas, kuriam neužtenka mokyklinės matematikos, gali toliau lavinti įgūdžius.

Yra ir matematikos olimpiados – jose galima atsiskleisti per specifinę matematiką. Galimybių yra. Nesakau, kad visos jos panaudojamos, bet labai gabūs gali gauti ir asmeninį dėmesį.

Prisimenu ir savo mokyklos laikus, mūsų mokytojai sugebėdavo užduotis pritaikyti vaikams: vieniems jos būdavo vienokios, kitiems – kitokios. Gabiems – didesni iššūkiai, kad turėtų ką veikti visą pamoką. Jeigu mokytojas sugeba tai pastebėti, jei jis pakankamai kvalifikuotas, tada gali spręsti ir labai gabių, ir visiškai negabių mokinių problemas.

Projektas „Aktualijų kompasas: nuo kasdienių naujienų iki giluminių įžvalgų“. Projektą 2025 m. iš dalies finansavo Medijų rėmimo fondas, skyręs projektui 50 tūkst. eurų.

Autorius: Inga Bartulevičiūtė

Turinio šaltinis

Kopijuoti, platinti ar skelbti šį turinį be autoriaus raštiško sutikimo draudžiama