Matematikos profesorius R. Norvaiša: matematikos mokymas tampa tik taisyklių išvardijimu ir jų taikymu

Anot profesoriaus, mokyklose reikėtų matematikos mokyti samprotavimo būdu.

Dienraščiui „Bernardinai.lt“ profesorius R. Norvaiša pasakoja apie matematikos programą, egzamino sudėtingumą ir ar reikalinga matematika tiems, kurie renkasi humanitarinės srities ar meno studijas.

„Per pastaruosius du šimtus metų matematika labai pakito. Ji sprendžia ne tik išorines, bet ir savo viduje gimstančias problemas. Jos vertinimo kriterijus – nebe tik tikrovės atitikimas, bet ir grožis“, – aiškina jis.

Šiais metais matematikos egzamine dalyvavo 12 580 mokinių. Jį išlaikė 84,5 procento. Kaip vertinate šį egzaminą, jo rezultatus, ar jis buvo sudėtingesnis nei ankstesniais metais?

Manau, sudėtingumo prasme šių metų egzaminas mažai kuo skyrėsi nuo pernykščio ar užpernykščio. Tiesa, skiriasi uždavinių sudėtingumo santykis. Atrodo, kad pastaraisiais metais daugėja paprastesnių, vieno žingsnio uždavinių, kuriems išspręsti dažnai pakanka tik formulės. Prasmė, ko gero, ta, kad būtų kuo mažiau neišlaikiusiųjų.

Jei klausiate, ar egzaminas keitėsi, – mano nuomone, nežymiai. Tačiau tiksliai atsakyti galima tik atlikus tyrimą, mes jį planuojame. Reikėtų įsivesti aiškius kriterijus, kaip vertinti uždavinių sunkumą ir sudėtingumą. Svarbu suprasti, kad sunkumas ir sudėtingumas yra skirtingi dalykai.

Pavyzdžiui, Nacionalinė švietimo agentūra sudėtingumą vertina remdamasi tuo, kiek žingsnių reikia atlikti užduočiai išspręsti. Ji klasifikuoja uždavinius pagal vieno, dviejų ir daugiau žingsnių struktūrą. Tačiau tarptautinėje matematikos didaktikos tyrimų srityje sudėtingumas suprantamas kitaip – jis labiau susijęs su tuo, kokio žinių lygio reikia išspręsti uždaviniui.

Jei naudotume tarptautiniuose tyrimuose taikomą vertinimo sistemą, būtų atsižvelgiama ir į tai, ar užduotis padeda suprasti matematinę sąvoką, ar leidžia ją susieti su kitomis sąvokomis.

Pirmojo lygio uždaviniai – paprastos procedūrinės užduotys, kai reikia pritaikyti formulę ar atlikti kelis veiksmus. Mūsų vertinimo sistemoje dažniausiai tik tokie ir yra. Tačiau jei naudotume tarptautiniuose tyrimuose taikomą vertinimo sistemą, būtų atsižvelgiama ir į tai, ar užduotis padeda suprasti matematinę sąvoką, ar leidžia ją susieti su kitomis sąvokomis. Trečiojo lygio uždaviniams spręsti reikėtų kūrybiškumo – tai tokios užduotys, kai reikia taikyti žinias naujoje situacijoje.

Planuojame atlikti tokį tyrimą su keletu mano studentų doktorantų. Jis būtų paremtas žinių lygio kriterijais ir padėtų analizuoti, kaip metai po metų kinta sudėtingesnių uždavinių santykis. Manau, vis tiek dominuos procedūriniai uždaviniai – juk tokius vaikai sprendžia mokyklose. Todėl natūralu, kad ir per egzaminą jie sprendžia tokio tipo uždavinius.

Tik atlikę tyrimą galėsime objektyviai įvertinti matematikos egzamino pokyčius.

Daugiau nei 1017 abiturientų, tai yra 8,1 procento, šiemet laikiusių matematikos egzaminą išplėstiniu lygiu, įvertinti šimtu balų. Tačiau šie rezultatai – jau su pridėtais dešimčia balų prie rezultato. Kaip vertinate švietimo ministrės Ramintos Popovienės sprendimą pridėti po dešimt balų prie egzamino rezultato?

Šis ministrės sprendimas tikrai nedžiugina. Kai kurie matematikai tai vertina teigiamai, bet aš su tuo kategoriškai nesutinku.

Koks yra egzamino tikslas? Oficialiai tai sumuojamasis vertinimas, kuriuo įvertinamos mokinių žinios. Jei siekiame įvertinti žinias, balų pakėlimas iškreipia vaizdą, kiek mokinys yra išmokęs. Tai trukdo tiksliai įvertinti, ar jis geba atlikti užduotis, reikalaujančias tam tikrų žinių. Tokie pakeitimai kenkia mūsų gebėjimui objektyviai suprasti, kiek žinių mokinys turi.

Be to, švietimo ministrė mano, kad matematikos valstybinis brandos egzaminas neturėtų būti privalomas į humanitarinius mokslus norintiems stoti abiturientams. Todėl ministrė tikina, kad bus diskutuojama dėl galimybės atsisakyti šio egzamino privalomumo. Naujausiame savo straipsnyje, kuriuo pasidalijote socialinėje medijoje, taip pat keliate šį klausimą. Tad ar matematikos egzaminas turi būti privalomas?

Savo tekste nesiekiau pateikti vienareikšmio atsakymo, nors mano poziciją galima suprasti. Bandžiau paaiškinti, kas yra matematika, kokią vertę ji turi visuomenėje ir ko faktiškai mokome mokykloje. Jei mokytume matematikos teisingai, dauguma, manau, norėtų, kad egzaminas būtų privalomas – jo nauda akivaizdi.

Per pastaruosius du šimtus metų matematika labai pakito. Ji sprendžia ne tik išorines, bet ir savo viduje gimstančias problemas. Jos vertinimo kriterijus – nebe tik tikrovės atitikimas, bet ir grožis.

Dėl humanitarų – bandžiau parodyti, kad matematika nėra gamtos mokslų dalis, nors visuomenėje tokia nuomonė populiari. Ji kilo iš gamtos mokslininkų, kurie matematiką taiko savo problemoms spręsti. Taip susiformavo įsitikinimas, kad matematika yra gamtos mokslų kalba, reikalinga tik tiems, kurie sprendžia šias problemas. Tačiau toks požiūris paviršutiniškas.

Per pastaruosius du šimtus metų matematika labai pakito. Ji sprendžia ne tik išorines, bet ir savo viduje gimstančias problemas. Jos vertinimo kriterijus – nebe tik tikrovės atitikimas, bet ir grožis. Tai nėra lengvai apibrėžiama, bet dauguma profesionalių matematikų sutinka: kai reikia rinktis tarp kelių sprendimų alternatyvų, jie renkasi tą, kuri atrodo gražesnė – kitaip tariant, paprastesnė, elegantiškesnė. Tai rodo, kad vienas iš kriterijų yra estetinė vertė.

Dėl to matematika artimesnė menui nei gamtos mokslams. Ji nėra nei tapyba, nei muzika, bet yra meno forma, turinti savitą grožio sampratą.

Humanitarai, kaip ir visi kiti žmonės, gyvenime sprendžia įvairius klausimus – ką pirkti, kur eiti, ką rinktis. Jie save įtikinėja, kad vienas sprendimas yra geresnis už kitą. Tai – racionalūs samprotavimai. Matematika būtent tai ir ugdo – gebėjimą pagrįsti, įrodyti, pasirinkti geriausią sprendimą. Todėl ji naudinga visiems – ne tik humanitarams, bet ir kiekvienam žmogui.

Esate sakęs, kad matematikos panaudojimas realiame pasaulyje yra labai svarbus, nes kitu atveju tai būtų tik šachmatų žaidimas savo malonumui. Tačiau neigiamai vertinate gyvenimiškų dalykų taikymą mokant matematikos. Ar galite paaiškinti, kodėl? Ir kaip matematika gali padėti gyvenime?

Tie gyvenimiški pavyzdžiai, kurie dabar naudojami mokykloje, dažniausiai susiję su paprastų taisyklių taikymu. O tos taisyklės paprastos todėl, kad mokyklinėje matematikoje nemokoma nieko sudėtingesnio – nesuteikiama kitokių matematikos įrankių, kurie galėtų būti panaudojami sudėtingesniais realaus gyvenimo atvejais. Tai kas belieka? Įvairūs matavimo uždaviniai ar tie, kur reikia pritaikyti tam tikras formules.

O sprendimų priėmimo uždavinių mes negalime pasiūlyti, nes nemokome, kaip priimti sprendimus, susijusius su matematinėmis sąvokomis – tam jau reikėtų gilesnio mokymosi. Todėl ir mūsų praktiniai pavyzdžiai yra gana primityvūs – ne tie, kuriems reikia sudėtingesnių sprendimų, tarkime, naudojant tikimybių teoriją ar statistiką. Tokius uždavinius mokiniams sunku pasiūlyti, nes jiems nesuteikiamas pagrindas, jie nežino, kokias žinias naudoti sprendžiant sudėtingesnes užduotis.

Todėl sakau: gyvenime galbūt jums reikės pamatuoti ar suskaičiuoti pinigus, bet tai dabar daug geriau padaro įvairios technologijos.

Tada kyla klausimas – kam išvis mokyti matematikos, jeigu ją atlieka technologijos? Ypač dabar, kai atsirado dirbtinis intelektas, kuris geba atlikti visus formulių taikymo veiksmus? Jeigu mes mokymosi tikslą paliksime tą patį – mokytis taikyti formules ir taisykles, – dirbtinis intelektas tą padarys geriau už mus.

Pavyzdžiui, net penktoje ar šeštoje klasėje, kur yra vos dešimt matematikos temų, mokytojai sako nespėjantys išdėstyti visos medžiagos. Ir taip yra nuo pradinių klasių iki dvyliktos.

Tačiau dirbtinis intelektas dar negali spręsti, kokias prielaidas daryti, kokius įrankius pasirinkti, kurie tiesiogiai nekyla iš jau žinomų taisyklių. Būtent šią sritį galėtume lavinti nuo pirmos klasės: kaip pačiam sukonstruoti kontekstą, kuriame reikia apibrėžti sprendimus, formuluoti sąvokas, kurias reikėtų panaudoti atliekant vieną ar kitą užduotį.

Toks gilesnis mokymas būtų prasmingas ir suteiktų įrankių atlikti sudėtingesnes užduotis.

Ar dabartinė mokyklinė matematikos programa tinkama šiuolaikiniams mokiniams? Jie skundžiasi, kad ji per sunki. Kaip Jūs vertinate?

Manau, kad abu dalykai susiję. Taip, programa sunkėja, bet kokia prasme? Ji sunkėja ne gylio prasme. Per pastarąjį atnaujinimą į programą įtraukta nemažai dalykų, kurių nebuvo ankstesnėje, prieš dešimtmetį galiojusioje, programoje.

Tarkime, atsirado finansų temos, yra ir ekonomikos, programavimo, statistikos. Nors ir dėl statistikos kyla klausimas – ar ją reikėtų mokyti matematikos pamokose, nes jos mokoma ir kituose dalykuose.

Tačiau šalia to atsirado naujų temų, kurios nebūtinai yra reikalingos, o kai kurios anksčiau buvusios – iš tiesų būtinos, jei norime mokyti matematikos nuosekliai, – dingo. Būtent šių nereikalingų temų atsiradimas ir reikalingų praradimas sudaro tą sudėtingumo jausmą, dėl kurio ir mokytojams sunku programą išeiti.

Pavyzdžiui, net penktoje ar šeštoje klasėje, kur yra vos dešimt matematikos temų, mokytojai sako nespėjantys išdėstyti visos medžiagos. Ir taip yra nuo pradinių klasių iki dvyliktos.

Taigi, programa plečiama plotu, bet seklėja turiniu. Ji tampa platesnė, bet ne gilesnė. Todėl ji ir darosi sudėtinga – tiek mokytojams, tiek mokiniams.

Kokios temos, kurias paminėjote, dingo, nors yra labai svarbios?

Pavyzdžiui, atvirkštinė funkcija. Tai viena iš funkcijos savybių. O funkcija apskritai yra pati svarbiausia mokyklinės matematikos sąvoka, tačiau ji pateikiama pernelyg supaprastintai. Be to, funkcijos sąvokai aiškinti vienu metu taikomi keli skirtingi jos supratimo būdai, atėję iš skirtingų istorinių laikotarpių. Tai kelia painiavą ir sunkina sąvokos suvokimą.

Vienas dalykas – pati sąvoka yra abstrakti. Ji netgi abstraktesnė nei skaičiaus sąvoka. Taigi, paminėta atvirkštinė funkcija – tik viena iš funkcijos savybių, tačiau labai reikšminga. Kam ji reikalinga? Ji būtina svarbių funkcijų pavyzdžiams apibrėžti.

Yra tokios funkcijos kaip trigonometrinės, rodiklinės, laipsninės, logaritminės – jas daug paprasčiau būtų paaiškinti naudojant atvirkštinės funkcijos sąvoką. Tačiau ši sąvoka iš programos dingo. Mokytojai vis dar priversti ją naudoti, bet negali jos aiškiai įvardyti. Tai nepaaiškinama – kodėl taip padaryta?

Kai kurios sąvokos netikėtai perkeltos, pavyzdžiui, iš septintos į vienuoliktą ar dvyliktą klases. Tarkime, absoliutinio dydžio sąvoka: skaičius turi absoliutinę reikšmę – ji visada teigiama, jei skaičius teigiamas – reikšmė lieka teigiama, jei neigiamas – imamas jo modulis, tai yra teigiama reikšmė.

Ši sąvoka labai svarbi vertinant paklaidas. O paklaidų vertinimą mokiniai atlieka jau septintoje–aštuntoje klasėse. Dabar gi ši sąvoka perkelta į vienuoliktą–dvyliktą klases. Tai kaip tada mokiniai turėtų skaičiuoti paklaidas be modulio sąvokos?

Kokių dar trūkumų įžvelgiate mokyklinėje matematikos programoje?

Didžiausia problema – vis daugiau turinio tampa tiesiog taisyklių rinkiniu. Ir tai yra pagrindinis matematikos programos sudėtingumas.

O ką reiškia taisyklė? Tai teiginys, kuris pateikiamas mokiniui be argumentacijos, kodėl jis teisingas. Todėl jis vadinamas taisykle – nes reikia jį tiesiog išmokti. Šios taisyklės vėliau bandomos pateikti kaip suprantamos, kai taikomos įvairiems standartiniams uždaviniams.

Čia ir yra pagrindinė problema – matematikos mokymas tampa taisyklių išvardijimu ir jų taikymu sprendžiant tipinius uždavinius. Tačiau reikėtų matematikos mokyti samprotavimo būdu.

Tai reikštų, kad mokiniai turėtų nagrinėti objektus, ieškoti dėsningumų, formuluoti hipotezes. Tarkime, jie nagrinėja skaičius – sudeda juos ir pastebi, kad sudėjus du lyginius skaičius visada išeina lyginis, sudėjus du nelyginius – taip pat. Jei jie pastebi tokį dėsningumą, svarbu pirmiausia jį suformuluoti. Pagrindinis klausimas tada – ar tai visada teisinga? Kaip įrodyti, kad tai tinka visiems skaičiams?

Tai būtų pavyzdys, kaip galėtų atrodyti matematikos mokymas – matematinė samprata. Tai dėsningumų paieška, hipotezių formulavimas ir jų pagrindimas arba paneigimas.

Tai įtraukia mokinius – nes dėsningumo paieška ir tikrinimas visada žadina smalsumą.

Tokiu būdu būtų mokoma ne tik mokyklinės, bet ir akademinės, mokslo tyrimais paremtos matematikos. Nes ką daro tipinis matematikas? Jis netaiko formulių, neatlieka šabloninių skaičiavimų. Jis ieško tam tikrų savybių tarp žinomų rezultatų ar objektų, bando jas suformuluoti ir įrodyti.

Būtent tai yra profesionalaus matematiko darbas. Ir jeigu norime supažindinti mokinius su tikrąja matematika, turime tai daryti mokykloje, taikydami paprastus atvejus, bet išlaikydami tą patį požiūrį.

Tai įtraukia mokinius – nes dėsningumo paieška ir tikrinimas visada žadina smalsumą. Tuomet atsiranda tikras supratimas, kam reikalingos visos taisyklės ir kodėl jos svarbios. Tai padeda suprasti, kad taisyklės būdingos ne vienam ar dviem atvejams, bet visai objektų klasei.

Čia ir yra matematikos specifika: norime įrodyti savybes, kurios galioja begaliniam skaičiui objektų. O kiekvieno jų tikrinti negalime – tam turime naudoti įrankius. Dažniausiai tai loginiai argumentai, kurie leidžia įrodyti, kad mūsų išvesta savybė galioja visiems begalinio rinkinio elementams.

Autorius: Inga Bartulevičiūtė

Turinio šaltinis

Kopijuoti, platinti ar skelbti šį turinį be autoriaus raštiško sutikimo draudžiama